微分方程的初始条件:二阶微分方程的3种通解[朗读]

求微分方程满足初始条件的特解dy/dx=-(x/y),y=▏(x=4)=0解:分离变量得:ydy=-xdx,积分之得y²/2=-x²/2+c,当x=4时y=0,故有-8+c=0,c=8故得特解y²=-x²+16。

首先为什么要有初始条件?因为方程对时间有导数解微分方程,从某种意义上来说就是求积分而我们知道做不定积分的时候会出现一个常数c,初始条件就是用来定这个c？

2y''=3y^2设y'=py''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy所以2pdp/dy=3y^2即p^2=y^3+c在这里,只要将y=1,p=1代入即可,不必管x即c=0即y'=±y^(3/2)同时注意到y'与y同号,便得到y'=y^(3/2)dy/y^(3/2)=dx-2y^(-1/2)=x+c'这时再代入x=-2,y=1,得到c'=0因此通解为x-2y^(-1/2)=0。

微分方程在给出的时候是有给初始的未知数的值,这个叫做初始条件,微分方程时其通解都包含有未知常数c,c可以是任意常数.这些未知常数是由微分方程的定解条件确定的,也就是把初始条件带入之后得出的c的值.微分方程的最后的解既满足微分方程又满足定解条件.微分方程的定解条件分为两类:一类是初始值条件一类是边界值条件.当微分方程中的未知数的自变量是时间时,那么定解条件是初始值条件;当自变量为空间变量(如空间位置)时,其定解条件为边界条件.初始条件如:初始位移、初始速度等;边值条件如弹性梁的简支端、固定端的位移限制等.对于混合型的偏微分方程问题,两种边界条件可以都存在。

微分方程的特解是指满足微分方程的一个解,它有很多个.满足初始条件的特解是指既满足微分方程,又满足初始条件的那一个特解.求满足初始条件的特解时,不是先求出整个的通解再代入初始条件,而是相反.往往是定出解的结构,用与微分方程对应的微分方程(例如对应的齐次微分方程)的通解作为通解的一部分,再找出本方程的一个特解,把二者相加求得本微分方程的通解.具体特解的求法,各不相同,有的假设成具有对应通解的形式,有的再加上某一函数,有的假设为一定形式.具体情况具体分析。