正定矩阵的充要条件:正定矩阵的充分条件[朗读]

证明:假设实对称阵a是正定阵,则a的特征值{a1,a2,..,an}都是正的,而实对称阵是正交相似于对角阵diag(a1,..,an),即有正交阵p使得a=p'diag(a1,a2,..,an)p=p'diag(√a1,√a2,,√an)·diag(√a1,√a2,,√an)p记q=diag(√a1,√a2,,√an)p,则a=q'q,即a与单位阵合同反之若a与单位阵合同,即存在可逆阵s,使得设a=s's.则对任意非零向量x,有x'ax=x's'sx=(sx)'(sx)>0∴a是正定的。