矩阵有非零解的条件:线性方程组非零解条件[朗读]

设系数矩阵a是m行n列1.r(a)<n2.a的列向量组线性相关3.若m=n,则|a|=0。

齐次线性方程组ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于未知量的个数.本题,系数矩阵b是3*5矩阵,b的秩小于等于3,所以小于未知量个数5,所以bx=0有非零解。

按矩阵理论,齐次线性方程组系数矩阵的秩不大于未知数的个数,当等于未知数的个数时,不但方程个数与未知数个数相等,而且说明各方程独立,即每一个方程都不能由其他方程代替,即此时矩阵满秩.按方程组理论,解只可能有一个,这就只能是零解.当齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数的个数时,说明独立的方程比未知数的个数少,即一个或几个方程可由其他方程推出或代替,这时设想某个或某几个未知数取任意的固定值,从而由其他方程解出其他未知数(使得在较小的规模下未知数的个数与方程个数相等),这意味着方程组有非零解。

必要性:假设|a|不为0,则n阶矩阵a可逆,ax=0两边同时左乘a逆得x=0,即说明x只有0解,与条件矛盾,故|a|=0充分性:将a写成列向量的形式,a=[a1,a2,an],其中ai为a的第i列,同时x也写成向量形式,x=[x1,x2,xn]t则ax=0可表示成x1a1+x2a2+xnan=0因为|a|=0,所以a的秩小于n,所以a的列向量线性相关,故存在不全为0的一组数x1,x2,,xn,使得x1a1+x2a2+xnan=0所以ax=0有非零解这道题在线性代数里算比较基础的,建议你多看看书,线性代数好多题证明要用到线性相关的知识。

注意你说的是非零解.这道题应该选第一个.而且那样的方程总是有零解的.把a看成n个列向量组成,比如a1,a2,,an,假设x的分量是x1,x2,,xn,那么ax可以写成a1,a2,,an的线性组合,组合系数就是那些x的分量,即:ax=x1a1++xnan.由此很明显地看出来,ax=0有非零解的充分必要条件是0可以写成那些列向量的非平凡的线性组合(也就是组合系数不全为零的线性组合),而后者就等价于说a的列向量线性相关.补充:那样的方程只有零解的充要条件才是b。