正定矩阵的充要条件:正定矩阵的充分条件[朗读]

1.高等代数上有个定理:对于任意一个n级实对称矩阵a都存在一个n级正交矩阵t,使t'at成对角型,而对角线上的元素就是它的特征根.由此,开证,(1)充分性:当对称矩阵a的特征根都为正数时,对角型矩阵t'at对角线上的元素均为正数,所以t'at为正定矩阵,又t为正交阵,所以a是正定阵.(2)必要性:由于对称矩阵a是正定矩阵,所以存在一个正交矩阵t,使t'at成对角型的对角线上的元素均为正值,而对角线上的元素又为a的所有特征值,即a的特征值均为正数.你好,希望能够帮到你。

因为c可逆,所以对于任意的非零向量x,存在非零向量y,是的x=cy从而有,x^tax=(cy)^ta(cy)=y^tc^tacy=y^tey=y^ty>0,即证。

你好!a是正定矩阵a的特征值全为正数a合同于单位阵a的顺序主子式全为正.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.谢谢。

可以通过矩阵的行列变换加以证明若一个矩阵的顺序主子式都为正则所有特征值都大于0。

证明:假设实对称阵a是正定阵,则a的特征值{a1,a2,..,an}都是正的,而实对称阵是正交相似于对角阵diag(a1,..,an),即有正交阵p使得a=p'diag(a1,a2,..,an)p=p'diag(√a1,√a2,,√an)·diag(√a1,√a2,,√an)p记q=diag(√a1,√a2,,√an)p,则a=q'q,即a与单位阵合同反之若a与单位阵合同,即存在可逆阵s,使得设a=s's.则对任意非零向量x,有x'ax=x's'sx=(sx)'(sx)>0∴a是正定的。