洛朗级数展开条件:洛朗级数展开步骤详解[朗读]

f(z)=1/5*[-z/(z²+1)+2/(z²+1)-1/(2-z)].因为1<|z|<2,所以|z/2|<1,|1/z²|<1.前两项,把c包围起来,在这个圆环内是全纯的(解析的).的洛朗级数展开式在这个圆环内的。

∵(sinz)'=cosz=sin(π/2+z),(sinz)''=cos(π/2+z)=sin(2π/2+z),……,sinz的n阶导函数(sinz)^(n)=sin(nπ/2+z).∴(sinz)^(n)丨(z=0)=0【n=2m】、=(-1)^m【n=2m+1】,其中,m=0,1,2,……,∞.∴sinz=z-z³/(3!)+……+[(-1)^m][z^(2m+1)]/(2m+1)!+…….其中丨z丨<+∞.供参考。

解:∵f(z)=(4z-5)/[(z-1)(z-2)]=1/(z-1)+3/(z-2)=-1/(1-z)-(3/2)/(1-z/2),而,当丨z丨<1时如e^z、sinz、cosz、ln(1+z)等等,来间接展开;更多是实数域的泰勒级数的“延展”。

从形式上看,洛朗级数有幂次为负数的项,而泰勒级数没有.但这只是表面现象,这两者本质上的不同在于,洛朗级数是在孤立奇点的邻域的级数展开,它的定义域是一个环状的区域:r洛朗级数的正则部分(也就是幂次非负的部分)是在|z|实际上,泰勒级数是更基本的.洛朗级数的正则部分就是这个孤立奇点附近的关于z的泰勒级数,而其主要部分则是无穷远点附近的关于1/z的泰勒级数.也就是说洛朗级数是两个泰勒级数的和。