矩阵可对角化的条件:矩阵可相似对角化的条件[朗读]

定义20.1设a是数域f上n阶矩阵,如果存e79fa5e98193e78988e69d8331333231393732在可逆阵p,使p-1ap为对角阵,那么a称为可对角化矩阵.并不是所有的。

对于n阶矩阵a,其可对角化的充要条件是a有n个线性无关的特征向量,具体点说,就是a要有n个互异特征值,或者有n-m个互异特征值和m重特征值且这m个特征值有m个特征向量.另一种判别方法:实对称矩阵必可对角化。

如果a有n个线性无关的特征向量,设t=【a1,a2,,an】(a1,a2,,an线性无关,t可逆)则at=【入1a1,入2a2,,入nan】=tb(b为对角矩阵)t^(-1)at=b所以n阶矩阵a能对角化的充要条件是a有n个线性无关的特征向量。

a可对角化时,存在可逆矩阵p使得p^-1ap=diag(a1,..,an)则r(a)=r(p^-1ap)=rdiag(a1,,an)=a1,,an中非零元素的个数而a的特征值即a1,,an所以r(a)等于a的非零特征值的个数。

http://www.fjtu.com.cn/fjnu/courseware/0319/course/_source/web/lesson/chapter6/j2.htm以下将内容局部复制下来,详见原网址.定理1阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.若阶矩阵定理2矩阵的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.推论1若阶矩阵有个互不相同的特征值,则可对角化定理5阶矩阵可对角化的充分必要条件是:的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数(即的每个特征值对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量个数等于该特征值的重数,也即的每个特征子空间的维数等于该特征值的重数).请保存网页,仔细参考吧。