a可逆的充要条件:n阶方阵可逆的充要条件[朗读]

在线性代数中,给定一个n阶方阵a,若存在一n阶方阵b使得ab=ba=in,其中in为n阶单位矩阵,则称a是可逆的,且b是a的逆阵,记作a.若方阵a的逆阵存在,则称a为非奇异方阵或可逆方阵.给定一个n阶方阵a,则下面的叙述都是等价的:a是可逆的、a的行列式不为零、a的秩等于n(a满秩)、a的转置矩阵a也是可逆的、aa也是可逆的、存在一n阶方阵b使得ab=in、存在一n阶方阵b使得ba=in.a是可逆矩阵的充分必要条件是︱a︱≠0(方阵a的行列式不等于0)。

必要性:a可逆,则ax=0没有非零解,即对任意非零p,均有ap≠0*p,从而a的特征值不包含0充分性:a不含特征值0,即对于任意非零p,均有ap≠0*p,从而ax没有非零解,即a可逆。

n阶方阵a可逆?|a|≠0?r(a)=n?a经过有限次初等变换可以化为e,即a等价于n阶单位矩阵故a、b、d正确而a若正定,则|a|>0,故a可逆;但反之不成立如a=100?1,显然a可逆,但由于|a|=-1。

a可逆的充要条件:1、|a|不等于0.2、r(a)=n.3、a的列(行)向量组线性无关.4、a的特征值中没有0.5、a可以分解为若干初等矩阵的乘积.矩阵a为n阶方阵,若存。

先证明必要性:矩阵a可逆,则其n个行(或列)向量,必然线性无关(否则,线性相关,则必然导致矩阵的秩小于n,从而不可逆,得出矛盾!)因而构成n维向量空间的一组基.充分性:n个行(或列)向量,是n维向量空间的一组基,则显然这n个向量线性无关,因此矩阵的行(或列)秩,等于n,则该n阶可逆。