向量组线性相关的充要条件:向量组线性相关的条件[朗读]

向量组矩阵的秩就是向量组的极大无关线性组个数,因为矩阵的初等变换不改变秩,若一个向量不在极大无关线性组内,必可由无关向量组表出,经过初等变换可变为0所以矩阵内的极大无关线性组个数必为秩.且行秩和列秩以及秩都为此个数.所以若矩阵不满秩,即表明不是所有的向量组都无关,即存在相关向量组,又不满秩行列式为0,证出。

a1,a2,an线性相关的充要条件是|a|=0a1,a2,an线性相关则它不为满秩;不是满秩则|a|=0不为满秩即|a|=0,则a1,a2,an线性相关。

证明方式如下:假设向量组a线性相关,则有不全为0的数k1,k2,……,km使k1a1+k2a2+……+kmam=0.因为k1,k2,……,km不全为0,不妨设k1不等于零.所以a1=-1(k2a2+。

知识点:向量组a1,,as线性无关的充要条件是向量组的秩等于s.r(a)=m,所以a的行向量组的秩为m.而a有m行,所以a的行向量组线性无关.r(a)=m,所以a的列向量组的秩为m.而a有n行,m

根据秩的定义,r是a的行或者列向量组的极大无关组的向量的个数.r=n时候极大无关组向量个数为n,所以a的向量组都是线性无关的所以满秩是向量组线性无关的充要条件。